Question

решить методом гауса и подробно расписать

Answer 1

$1); ; left{begin{array}{ccc}12x_1-x_2+7x_3+11x_4-x_5=0; \24x_1-2x_2+14x_3+22x_4-2x_5=0\x_1+x_2+x_3-x_4+2x_5=0end{array}right$

Заметим, что 2 строчка линейно зависима от 1 строки, т.к. все коэффициенты перед неизвестными пропорциональны, коэффициент пропорциональности = 2. ( Если умножить 1 строку на 2 и прибавить ко 2 строке , получим все нулевые коэффициенты   ⇒   можно вычеркнуть 2 строку, получим систему с двумя уравнениями и 5 неизвестными .

Поменяем местами 1 и последнюю строки, затем умножим 1 строку на (-12) и прибавим ко 2 строке.

$left{begin{array}{cc}x_1+x_2+x_3-x_4+2x_5=0quad qquad \0cdot x_1-13x_2-5x_3+23x_4-25x_5=0end{array}right$

Выбираем базисный определитель, составленный из 1 и 2 столбцов:

 $left|begin{array}{cc}1&1\0&-13end{array}right|=-13ne 0$

Значит за базисные (главные) неизвестные можно принять х₁ и х₂, а остальные неизвестные - свободные, они могут принимать произвольные значения. Выразим базисные неизвестные через свободные. Получим бесчисленное множество решений системы.

$left{begin{array}{cc}x_1+x_2=-x_3+x_4-2x_5\-13x_2=5x_3-23x_4+25x_5end{array}right\\\left{begin{array}{cc}x_1=(frac{5}{13}x_3-frac{23}{13}x_4+frac{25}{13}x_5)-x_3+x_4-2x_5\x_2=-frac{5}{13}x_3+frac{23}{13}x_4-frac{25}{13}x_5qquad qquad qquad qquad end{array}right\\\left{begin{array}{cc}x_1=-frac{8}{13}x_3-frac{10}{13}x_4-frac{1}{13}x_5\x_2=-frac{5}{13}x_3+frac{23}{13}x_4-frac{25}{13}x_5end{array}right$

Обозначим  $x_1=alpha ; ,; ; x_4=beta ; ,; ; x_3=gamma$  , которые могут принимать произвольные числовые значения, тогда общее решение запишется в виде:

$left{begin{array}{cc}x_1=-frac{8}{13}alpha -frac{10}{13}beta -frac{1}{13}gamma ; ,\x_2=-frac{5}{13}alpha +frac{23}{13}beta -frac{25}{13}gamma ; .end{array}right$

2)  Решение 2 системы напишу короче, через расширенную матрицу. Объяснения аналогичные.

$left(begin{array}{ccccc}1&-2&2&3&|; 0\2&-3&1&4&|; 1\3&-5&3&7&|; 1end{array}right)sim ; ; 1strcdot (-2)+2str; ;; 1strcdot (-3)+3str\\\sim left(begin{array}{ccccc}1&-2&2&3&|; 0\0&1&-3&-2&|; 1\0&1&-3&-2&|; 1end{array}right); sim ; left(begin{array}{ccccc}1&-2&2&3&|; 0\0&1&-3&-2&|; 1end{array}right)\\\rang=2; <; n=4; ; to ; ; beschislennoe; mnozestvo; reshenij$

$left|begin{array}{cc}1&-2\0&1end{array}right|=1ne 0; ; Rightarrow ; ; x_1; ,; x_2; -; glavnue; neizvestnue$

$left{begin{array}{cc}x_1=2x_2-2x_3-3x_4\x_2=1+3x_3+2x_4end{array}right; ; left{begin{array}{cc}x_1=2(1+3x_3+2x_4)-2x_3-3x_4\x_2=1+3x_3+2x_4end{array}right \\\left{begin{array}{cc}x_1=2+4x_3+x_4\x_2=1+3x_3+2x_4end{array}right; ; ; ; x_3=alpha ; ,; ; x_4=beta \\\left{begin{array}{cc}x_1=2+4alpha +beta \x_2=1+3alpha +2beta end{array}right$