Question

Решить интегралы ( определенные и неопределенные)

Answer 1

$1); ; int frac{x^2}{x-1}, dx=int frac{x^2-1+1}{x-1}, dx=int frac{(x-1)(x+1)+1}{x-1}, dz=int (x+1+frac{1}{x-1})dx=\\=frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|+C; ;\\2); ; int x, e^{x}, dx=[, u=x; ,du=dx,; dv=e^{x}dx,; ,v=e^{x}, ]=uv-int v, du=\\=x, e^{x}-int e^{x}dx=x, e^{x}-e^{x}+C=e^{x}(x-1)+C; ;\\3); ; int frac{3x^2}{sqrt{3x^3-1}}dx=[, t=3x^3-1,; dt=9x^2, dx, ]=frac{1}{3}int frac{9x^2, dx}{sqrt{3x^3-1}}=\\=frac{1}{3}int frac{dt}{sqrt{t}}=frac{1}{3}cdot 2sqrt{t}+C=frac{2}{3}cdot sqrt{3x^3-1}+C; ;$

$4); ; intlimits^{sqrt7}_{sqrt3}, frac{x^3, dx}{sqrt[3]{4x^4-6}}=[, t=4x^4-6,; dt=16x^3, dx,; t_1=4cdot 9-6=30,; t_2=190, ]=\\=frac{1}{16}intlimits_{30}^{190}, frac{dt}{sqrt[3]{t}}, dx=frac{1}{16}cdot frac{t^{2/3}}{2/3}Big |_{30}^{190}=frac{1}{16}cdot frac{3}{2}cdot (sqrt[3]{190^2}-sqrt[3]{30^2}); ;\\5); ; intlimits^2_1frac{6, lnx}{x^2}, dx=[, u=lnx,; du=frac{dx}{x},, dv=frac{dx}{x^2},; v=-frac{1}{x}, ]=$

$=uvBig |_{a}^{b}-int limits _{a}^{b}v, du=6cdot Big (-frac{1}{x}cdot lnxBig |_1^2+intlimits^2_1frac{1}{x^2}, dxBig )=6cdot Big (-frac{1}{2}cdot ln2+1cdot ln1-frac{1}{x}Big |_1^2Big )=\\=6cdot Big (-frac{ln2}{2}-frac{1}{2}+1Big )=6cdot (-frac{ln2}{2}+frac{1}{2})=6cdot frac{1-ln2}{2}=3cdot (1-ln2); .$