Question

Решить интеграл⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\int\dfrac{x^4dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left|x=\sin t\right|=\int\dfrac{\sin^4t}{\cos t}\cdot\cos t\,dt=\int\sin^4t\,dt$

$\sin^4t=\dfrac{1-2\cos 2t+\cos^2 2t}{4}=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos 2t+\dfrac{1+\cos 4t}{2}\right)$

$\int\sin^4t\,dt=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3t}{2}-\sin 2t+\dfrac{\sin 4t}{8}\right)+C$

$\int\dfrac{x^4dx}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{3}{8}\arcsin x-\dfrac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\dfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^2}(1-2x^2)+C=\\=\dfrac{3}{8}\arcsinx-\dfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^2}(2x^2+3)+C$

Задание выполнено!