Question

Решить хотябы 4 из 5

Answer 1

$4)\; \; \lim\limits _{x \to 0}\frac{tgx-sinx}{x\, sin^2x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{sinx-sinx\cdot cosx}{cosx\cdot x\cdot sin^2x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{sinx\cdot (1-cosx)}{x\cdot cosx\cdot sin^2x}=\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x\cdot cosx\cdot sinx}=\Big [\; sinx\sim x\; ,\; x\to 0\; \Big ]=\lim\limits _{x \to 0}\frac{2\cdot \frac{x^2}{4}}{x^2\cdot cosx}=\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\frac{2}{4\cdot cosx}=[\; cos0=1\; ]=\frac{1}{2}$

$5)\; \; \lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{2x+1}{2x-3}\Big )^{2x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{4}{2x-3}\Big )^{\frac{2x-3}{4}}\Big )^{\frac{4\, \cdot \, 2x}{2x-3}}=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{8x}{2x-3}}=e^{\frac{8}{2}}=e^2$