Question

Решить функциональное уравнение
$f(f^2(x)+y)=x^2+f(y)$

Answer 1

Решить функциональное уравнение $f(f^2(x)+y)=x^2+f(y).$

Подставив x=0, получаем уравнение $f(f^2(0)+y)=f(y).$ Если $f^2(0)\not= 0,$ мы можем сделать вывод, что искомая функция периодическая. В общем случае я не вижу, чему это противоречит, но если искать решение в классе непрерывных функций, то противоречие есть - ведь непрерывная периодическая функция обязана быть ограниченной (это следствие из теоремы об ограниченности функции, непрерывной на отрезке - взяв в качестве отрезка отрезок длиной в период функции).

Итак, непрерывность функции предполагаем и имеем f(0)=0.

Далее, записав уравнение в виде $f(f^2(x)+y)-f(y)=x^2,$ видим, что левая часть не зависит от y (ведь она равна x²) и равна приращению функции, когда приращение аргумента равно $f^2(x).$ Предположив, что

$f(x)\not= 0,$  когда икс отличен от нуля, можем переписать уравнение в виде $\frac{f(f^2(x)+y)-f(y)}{f^2(x)}=\frac{x^2}{f^2(x)}$, а устремив икс к нулю (по непрерывности f(x) также устремится к нулю), мы слева получаем производную функции f(x) в точке x=y (при том, что она не зависит от y!) (конечно, нужно предположить еще дифференцируемость искомой функции). Итак, производная нашей, пока еще неизвестной, функции равна константе:

$f'(x)=C,$ откуда (вспоминая, что f(0)=0) f(x)=Cx. Остается найти  С. Но это совсем просто: взяв в исходном уравнении y=0, получаем

$f(f^2(x))=x^2;\ f(C^2x^2)=x^2;\ C^3x^2=x^2; C=1\Rightarrow f(x)=x.$

Очевидно, полученная функция удовлетворяет исходному уравнению.

Кстати, по поводу $f(x)\not= 0.$ Если бы при некотором $x\not= 0$ функция равнялась бы нулю, мы получили бы $f(y)=x^2+f(y);\ x=0,$ - противоречие. Так что функция имеет право равняться нулю только в нуле.

Вывод: при некоторых предположениях   (непрерывность, дифференцируемость) мы решили уравнение.

Ответ: f(x)=x.

Если кто-нибудь может решить уравнение без ограничений, с удовольствием помещу эту задачу.