Question

Решить дифференциальное уравнение y'-(y/x) = (1/x^2)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным. Его решение будем искать в виде произведения двух функций $y=u(x)times v(x)$, тогда по правилу дифференцирования произведения $y'=u'v+uv'$. Подставляя в исходное уравнение, получим
·                             $u'v+uv'- dfrac{uv}{x}= dfrac{1}{x^2} Rightarrow,,, u'v+ubigg(v'- dfrac{v}{x} bigg)= dfrac{1}{x^2}$
Подбираем функцию $v$ так, чтобы выражение в скобках было равно 0. То есть, имеет место система
·                                                          $displaystyle left { {{v'- frac{v}{x} =0} atop {u'v= frac{1}{x^2} }} right.$
Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
·                        $displaystyle frac{dv}{dx} = frac{v}{x} Rightarrow,, intlimits frac{dv}{v}= intlimits frac{dx}{x} Rightarrow,, ln|v|=ln|x|Rightarrow,, v=x$
Подставим найденное значение во второе уравнение и решим его:
·            $displaystyle u'x= dfrac{1}{x^2} Rightarrow,, u'= dfrac{1}{x^3} Rightarrow,, u= intlimits frac{dx}{x^3}= frac{x^{-2}}{-2}+C=- frac{1}{2x^2}+C$ 
Вернувшись к замене, получим:
·                    $y=bigg(- dfrac{1}{2x^2}+C bigg)times x= - dfrac{1}{2x}+C x$ - общее решение

Ответ: $y=- dfrac{1}{2x}+C x.$