Question

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Answer 1

$y''+4y=8ctg2x\\1); ; k^2+4=0; ,; ; k^2=-4; ,; ; k_{1,2}=pm 2i\\y_{obsh.odn.}=C_1^*, cos2x+C_2^*, sin2x\\2); ; y_{obsh.neodn.}=C_1(x)cdot underbrace {cos2x}_{y_1}+C_2(x)cdot underbrace {sin2x}_{y_2}\\\left { {{C_1'(x)cdot y_1+C_2'(x)cdot y_2=0} atop {C_1'(x)cdot y_1'+C_2'(x)cdot y_2'=f(x)}} right. ; ; left { {{C_1'(x)cdot cos2x+C_2'(x)cdot sin2x=0} atop {C_1'(x)cdot (-2sin2x)+C_2'(x)cdot 2cos2x=8ctg2x}} right.$

$Delta =left|begin{array}{cc}cos2x&sin2x\-2sin2x&2cos2xend{array}right|=2cos^22x+2sin^22x=2ne 0\\Delta _1=left|begin{array}{cc}0&sin2x\8ctg2x&2cos2xend{array}right|=-8ctg2xcdot sin2x=-8cos2x\\Delta _2=left|begin{array}{cc}cos2x&0\-2sin2x&8ctg2xend{array}right|=8ctg2xcdot cos2x=frac{8cos^2x}{sin2x}\\\C_1'(x)=frac{Delta _1}{Delta } =-4cos2x; ,; ; C_2'(x)=frac{Delta _2(x)}{Delta }=frac{4cos^22x}{sin2x}\\C_1(x)=int (-4cos2x)dx=-2sin2x+C_1\\C_2(x)=int frac{4cos^22x}{sin2x}dx=int frac{4(1-sin^22x)}{sin2x}dx=4int (frac{1}{sin2x}-sin2x)dx=$

$=4int (frac{1}{2sinx, cosx}-sin2x)dx=4int (frac{1}{2cdot frac{sinx}{cosx}cdot cos^2x}-sin2x)dx=\\=2int frac{d(tgx)}{tgx}-frac{4}{2}int sin2x, d(2x)=2ln|tgx|-2(-cos2x)+C_2$

$y=C_1(x)cdot cos2x+C_2(x)cdot sin2x=\\=(-2sin2x+C_1)cdot cos2x+(2ln|tgx|+2cos2x+C_2)cdot sin2x=\\=C_1, cos2x+C_2, sin2x-2sin2xcdot cos2x+2sin2xcdot ln|tgx|+\\+2cos2xcdot sin2x; ,\\y=C_1, cos2x+C_2, sin2x+2, sin2xcdot ln|tgx|$