Question

Решить б
(подробно, желательно через t)

Answer 1

Ответ:

а)  х ∈ (-∞; 1)

б) х ∈ [0,5; 16]

Объяснение:

Решить неравенство:

$\displaystyle \bf a)\;3^{x+2}-2\cdot 3^{x+1}+3^x < 12$

• Свейство степени:

         $\boxed {\displaystyle \bf a^m\cdot a^n=a^{m+n} }$

$\displaystyle 3^x\cdot 3^2-2\cdot 3^x\cdot3+3^x < 12\\\\9\cdot3^x-6\cdot3^x+3^x < 12\\\\4\cdot3^x < 12\;\;\;|:4\\\\3^x < 3^1\\\\3 > 1\;\;\;\Rightarrow \;\;\;x < 1$

Ответ: х ∈ (-∞; 1)

Если необходимо через t, то сделаем замену:

3ˣ = t

9t - 6t + t < 12

4t < 12    |:4

t < 3

Обратная замена:

3ˣ < 3¹

x < 1

$\displaystyle \bf b)\;(log_{0,5}x)^2+3log_{0,5}x-4\leq 0$

ОДЗ: х > 0

Замена переменной:

$\displaystyle log_{0,5}x=t\\\\t^2+3t-4\leq 0$

По теореме Виета:

t₁ = -4;     t₂ = 1

Решим методом интервалов:

$+++[-4]---[1]+++$

⇒ -4 ≤ t ≤ 1

Обратная замена:

$\displaystyle -4\leq log_{0,5}x\leq 1$

$\displaystyle log_{0,5}\;0,5^{-4}\leq log_{0,5}x\leq log_{0,5}\;0,5^1\\\\ log_{0,5}\;16\leq log_{0,5}x\leq log_{0,5}\;0,5^1$

0 < 0,5 < 1 ⇒

$\displaystyle 16\geq x\geq 0,5\\\\0,5\leq x\leq 16$

Ответ: х ∈ [0,5; 16]