Question

Решить 2 дифференциальных уравнения и классифицировать каждое из них:

2x(x^2+y^2)dy=y(y^2+2x^2)dx

xy'-2y-xy^3=0; В этом ДУ решить задачу Коши y(1)=1

Answer 1

$2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$
Классификация: дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, однородное.

Убедимся, что данное уравнение однородное. Проверим условие однородности. Для этого домножим каждый x и каждый y на некоторого $lambdane 0~~-const$
$2lambda x(lambda^2x^2+lambda^2y^2)dy=lambda y(lambda^2y^2+2x^2lambda^2)dx\ \ 2lambda^3 x(x^2+y^2)dy=lambda^3y(y^2+2x^2)dx\ \ 2x(x^2+y^2)dy=y(x^2+2x^2)dx$

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем

$2x(x^2+u^2x^2)(u'x+u)=ux(u^2x^2+2x^2)\ 2(1+u^2)(u'x+u)=u(u^2+2)\ \ 2u'x+2u+2u^2u'x+2u^3=u^3+2u\ 2xu'(1+u^2)=-u^3$

Получили уравнение с разделяющимися переменными.
$displaystyle 2x(1+u^2)frac{du}{dx} =-u^3 ~~~Rightarrow~~~ frac{(1+u^2)du}{u^3} =- frac{dx}{2x}$
Проинтегрируем обе части уравнения, имеем:
$displaystyle int frac{(1+u^2)du}{u^3} =-int frac{dx}{2x} ~~~Rightarrow~~intbigg( frac{1}{u^3} + frac{1}{u} bigg)du=-int frac{dx}{2x}\ \ frac{1}{u^2}-2ln|u|=ln|x|$

Получили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x). Возвращаемся к обратной замене

$frac{x^2}{y^2}-2ln| frac{y}{x} |=ln|x|$  - общий интеграл и ответ.


$xy'-2y-xy^3=0~~|:x\ y'- frac{2y}{x} -y^3=0$
Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.

Применим метод Бернулли:
Пусть $y=uv$, тогда $y'=u'v+uv'$ Получаем

$u'v+uv'- frac{2uv}{x} -u^3v^3=0\ \ v(u'- frac{2u}{x} )+uv'-u^3v^3=0$

1) $u'-frac{2u}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.

$displaystyle frac{du}{dx} =frac{2u}{x} ~~~Rightarrow~~~ int frac{du}{u}=2int frac{dx}{x} ~~~Rightarrow~~~ ln|u|=2ln|x|\ \ ln|u|=ln|x^2|\ \ u=x^2$

2) $uv'-u^3v^3=0$
Подставляя u=x^2, имеем $v'-x^4v^3=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$displaystyle frac{dv}{dx} =x^4v^3~~Rightarrow~~~int frac{dv}{v^3} =int x^4dx~~~Rightarrow~~~- frac{1}{2v^2} = frac{x^5}{5} +C\ \ v= frac{ sqrt{5} }{ sqrt{C-2x^5} }$


$y=uv= dfrac{ sqrt{5}x^2 }{ sqrt{C-2x^5} }$ - общее решение.


Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия:
$1=dfrac{ sqrt{5}cdot 1^2 }{ sqrt{C-2cdot 1^5} } ~~~Rightarrow~~~ C=7$


$boxed{y=dfrac{ sqrt{5}x^2 }{ sqrt{7-2x^5} } }$ - частное решение.

Answer 2

Спасибо большое!