Question

Решение неравенства log0,5(х+3)<log0,25(х+15) решение и ответ

Answer 1

$log_{0.5}(x+3)<log_{0.5^{2}}(x+15)$
$log_{0.5}(x+3)<0.5*log_{0.5}(x+15)$
$log_{0.5}(x+3)<log_{0.5}( sqrt{x+15})$
$x+3>sqrt{x+15}$ - т.к. основания логарифмов меньше 1, то подлогарифмические выражения сравниваются с обратным знаком.
$sqrt{x+15}<x+3$
$x+15<(x+3)^{2}$ - возведем в квадрат обе части с учетом ОДЗ.
ОДЗ: $left { {{x+15>0} atop {x+3>0}} right.$
$left { {{x>-15} atop {x>-3}} right.$
$x>-3$
$x+15<x^{2}+6x+9$
$x^{2}+6x+9-x-15>0$
$x^{2}+5x-6>0$
$x^{2}+5x-6=0, D=25+24=49>0$
$x_{1}= frac{-5-7}{2}=-6$
$x_{2}= frac{-5+7}{2}=1$
$x<-6, x>1$ - но с учетом ОДЗ получаем: $x>1$

Ответ: x>1

Answer 2

0.25 = 0.5^2
Степень из-под основания логарифма выносится, как 1n
Тогда получаем:
log0.5(x+3) < 0.5 * log0.5(x + 15)
Заносим степень под знак логарифма
log0.5(x+3) < log0.5(sqrt(x+15))
Т.к. основания меньше 1, то
из ОДЗ
x > -3 и x > -15 , т.е. в выражении:
x + 3 > sqrt(x+15) обе части положительные, значит, можно возвести в квадрат:
x^2 + 2x + 9 > x + 15
x^2 + x - 6 > 0

x1 + x2 = -1
x1*x2 = -6

x1 = -3
x2 = 2

+ -3 - 2 +
x < -3 и x > 2
с учетом ОДЗ x > -3

остается только x > 2

Ответ: x > 2