Question

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с
постоянными коэффициентами

Answer 1

$1)\y''+2'+5y=0\k^2+2k+5=0\k_1=-1\k_2=-2\y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}\y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}\left { {{C_1+C_2=-1} atop {-C_1-2C_2=3}} right.;left { {{C_1=-2} atop {C_2=1}} right.\y=e^{-x}+2e^{-2x}$

$2)\y''-14y'+49y=0\k^2-14k+49=0\(k-7)^2=0\k_{1,2}=1\y=C_1e^{7x}+C_2e^{7x}x\y'=7C_1e^{7x}+e^{7x}C_2+7e^{7x}xC_2\left { {{e^7C_1+e^7C_2=1} atop {7e^7C_1+8e^7C_2=6}} right. ;left { {{C_1=frac{2}{e^7}} atop {C_2=-frac{1}{e^7}}} right. \y=frac{2}{e^7}e^{7x}-frac{1}{e^7}e^{7x}x$

$3)\y''+2y'+5y=0\k^2+2k+5=0\D/4=1-5=-4\k_{1,2}=-1pm 2i\y=C_1e^{-x}cos(2x)+C_2e^{-x}sin(2x)$