Question

РЕШАТЬ ПРИМЕР 1.9. 65 БАЛЛОВ ДАЮ!!!!!!!
Вложен скрин

Answer 1

Задание 1.9

Векторы будут коллинеарны, если их векторное произведение равно 0.

$[\vec{c_1};\vec{c_2}]=\vec{0}$

Перепишем векторы $\vec{c_1 }$ и $\vec{c_2}$ в базисе $\{\vec{i}; \vec{j};\vec{k}\}$

$\vec{a}=-2\cdot \vec{i}-3 \cdot \vec{j}-2\cdot \vec{k}\\\\\vec{b}=1\cdot \vec{i}+0\cdot \vec{j} +5 \cdot \vec{k}$

Тогда:

$\vec{c_1}=3\cdot \vec{a}+9\cdot \vec{b}=3\cdot \bigg[-2\cdot \vec{i}-3 \cdot \vec{j}-2\cdot \vec{k}\bigg]+9\cdot \bigg[1\cdot \vec{i}+0\cdot \vec{j} +5 \cdot \vec{k} \bigg] =\\\\= 3\cdot \vec{i}-9\cdot \vec{j}+39\cdot \vec{k}$

$\vec{c_2}=1\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{b}=1\cdot \bigg[-2\cdot \vec{i}-3 \cdot \vec{j}-2\cdot \vec{k}\bigg]+3\cdot \bigg[1\cdot \vec{i}+0\cdot \vec{j} +5 \cdot \vec{k} \bigg] =\\\\= 1\cdot \vec{i}-3\cdot \vec{j}+13\cdot \vec{k}$

Векторное произведение:

$[\vec{c_1};\vec{c_2}]=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-9&39\\1&-3&13\end{array}\right| = \vec{i}\cdot (-9\cdot 13+3\cdot39) -\vec{j}\cdot (3\cdot 13-1\cdot 39)+\vec{k}\cdot (3\cdot 13-1\cdot 39)=\\\\\\=0\cdot \vec{i}+0\cdot \vec{j}+0\cdot \vec{k}$

Таким образом, векторы являются коллинеарными.

Замечание:

Мы могли сразу сказать, что векторы будут коллинеарными. Видно, что:

$\vec{c_1}=3\cdot \vec{a}+9\cdot \vec{b}=3\cdot \bigg(\vec{a}+3\cdot \vec{b} \bigg)=3\cdot \vec{c_2}$

Т.е. векторы имеют одно направление, но их длины отличаются в 3 раза.