Question

ребят помогииите, кто нибудь

Answer 1

Первый способ

Теорема косинусов: для плоского треугольника со сторонами $a, \ b, \ c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, справедливо соотношение: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos \alpha$

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Следствие из теоремы косинусов: $\cos \alpha = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$

Для заданного треугольника имеем:

$\cos \alpha = \dfrac{15^{2} + 15^{2} - 18^{2}}{2 \cdot 15 \cdot 15} = \dfrac{7}{25}$

Применим основное тригонометрическое тождество:

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha =1$

Выразим из этого тождества синус для острого угла $\alpha$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2}\alpha } = \sqrt{1 - \left(\dfrac{7}{25} \right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{576}{625} } = \dfrac{24}{25}$

Следовательно:

$\text{tg} \, \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \dfrac{\dfrac{24}{25} }{\dfrac{7}{25} } = \dfrac{24}{7}$

$\text{ctg} \, \alpha = \dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha } = \dfrac{1}{\text{tg} \, \alpha } = \dfrac{7}{24}$

Второй способ

Проведем в равнобедренном треугольнике $RKT$ высоту $KH$, являющаяся медианой и биссектрисой, то есть $RH = TH = 9$ и $\angle RKH = \angle TKH = \dfrac{\alpha }{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $THK \ (\angle H = 90^{\circ}):$

По теореме Пифагора $KH = \sqrt{KT^{2} - TH^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} =12$

Тогда $\sin \angle KTH= \dfrac{KH}{KT} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$

Применим теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\dfrac{\sin \alpha }{RT} = \dfrac{\sin \angle KTH}{RK}$

$\dfrac{\sin \alpha }{18} = \dfrac{\dfrac{4}{5} }{15} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{18 \cdot 4}{15 \cdot 5} = \dfrac{24}{25}$

Аналогично:

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha } = \sqrt{1 - \left(\dfrac{24}{25} \right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{49}{625} } = \dfrac{7}{25}$

$\text{tg} \, \alpha = \dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \dfrac{\dfrac{24}{25} }{\dfrac{7}{25} } = \dfrac{24}{7}$

$\text{ctg} \, \alpha = \dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha } = \dfrac{1}{\text{tg} \, \alpha } = \dfrac{7}{24}$

Ответ: $\sin \alpha = \dfrac{24}{25}; \ \cos \alpha = \dfrac{7}{25}; \ \text{tg} \, \alpha = \dfrac{24}{7} ; \ \text{ctg} \, \alpha = \dfrac{7}{24}$