Question

Ребро правильного тетраэдра равно 1 дм. Вычисли площадь полной поверхности.

Ответ: площадь поверхности равна
__ √3 дм²

Answer 1

У правильного тетраэдра 4 грани, каждая из которых есть правильный треугольник. То есть нужно найти площадь четырех равных правильных треугольников, то есть

S = 4·S(Δ)

Найдем площадь правильного треугольника со стороной a = 1 дм. Опустим высоту треугольника h, которая является биссектрисой и медианой, и по т. Пифагора найдем эту высоту

$h^2 = a^2 - (frac{a}{2})^2 = a^2 - frac{a^2}{4} = frac{3a^2}{4}$

$h = sqrt{frac{3a^2}{4}} = afrac{sqrt{3}}{2}$

то есть  h = 1дм*(√3)/2 = (√3)/2 дм.

Теперь найдем площадь треугольника

S(Δ) = (1/2)·a·h = (1/2)·1дм·(√3)/2 дм = (√3)/4 дм².

Теперь найдем площадь тетраэдра

S = 4·(√3)/4 дм² = (√3) дм²

Ответ. Площадь поверхности равна 1 √3 дм².