Question

развязать интеграл (интегрування дифференцированням бинома)
НА ЛИСТКЕ ОТ РУКИ​

Answer 1

$int frac{sqrt{(4-x^2)^3}}{x^6}, dx=[; x=2sint; , dx=2, cost, dt; ,\\4-x^2=4-4sin^2t=4(1-sin^2t)=4cos^2t; ]=int frac{sqrt{4cos^2t}cdot 2, cost, dt}{2^6cdot sin^6t}=\\=frac{1}{2^4}int frac{cos^2t, dt}{sin^6t}=frac{1}{16}int ctg^2tcdot frac{1}{sin^2t}cdot frac{dt}{sin^2t}=\\=frac{1}{16}int ctg^2tcdot (1+ctg^2t)cdot (-d(ctgt))=-frac{1}{16}int (ctg^2t+ctg^4t)cdot d(ctgt)=$

$=-frac{1}{16}cdot (frac{ctg^3t}{3}+frac{ctg^5t}{5})+C=-frac{1}{16}cdot Big (frac{1}{3}ctg^3(arcsinfrac{x}{2})+frac{1}{5}, ctg^5(arcsinfrac{x}{2})Big )+C=\\=-frac{1}{48}, Big (frac{sqrt{4-x^2}}{x}Big )^3-frac{1}{80}, Big (frac{sqrt{4-x^2}}{x}Big )^5+C=\\=-frac{sqrt{(4-x^2)^3}}{48x^3}-frac{sqrt{(4-x^2)^5}}{80x^5}+C$