Question

Разность двух чисел равна 26. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

Answer 1

Пусть первое число = х, тогда второе: x+26

по условию выражение:
$x^3*(x+26)$
должно быть наименьшим

воспользуемся производной:

$f(x)=x^3*(x+26)=x^4+26x^3 \ \ f'(x)=4x^3+78x^2 \ \ f'(x)=0 = textgreater 4x^3+78x^2=0 \ \ 2x^2(2x+39)=0 \ \ begin{bmatrix} 2x^2=0 \ 2x+39=0 end{matrix} Leftrightarrow begin{bmatrix} x_{1,2}=0 \ x_3=-19.5end{matrix} \ \ \ -----[-19.5]++++[0]+++++ textgreater x$

там где производная отрицательна (знак минус), сама функция убывает.

где производная положительна (знак плюс), сама функция возрастает.

Значит при смене знака - на +, получается точка минимума, то есть наименьшее значение х=-19,5
тогда второе число: х+26=-19,5+26=6,5

Ответ: -19,5 и 6,5