QA1A₂ A3- пирамида A1(2;4;6) А3 (6,8,13) A 2 (4;7:12) Q (14; -4, -18) 1) Найти ур. пло-ти А1A2A3 2) Написать ур. ребра А2 А3 3)найти длину высоты h
Ответы на вопрос
1) Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x – xA y – yA z – zA
xB – xA yB – yA zB – zA
xC – xA yC – yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x – 2 y – 4 z – 6
4 – 2 7 – 4 12 – 6
6 – 2 8 – 4 13 - 6 = 0
x – 2 y – 4 z – 6
2 3 6
4 4 7 = 0
(x – 2)(3·7-6·4) –(y – 4)(2·7-6·4) +(z - 6)(2·4-3·4) = 0.
(-3)(x – 2) + 10(y – 4) + (-4)(z - 6) = 0.
Получаем уравнение плоскости А1А2А3:
- 3x + 10y - 4z - 10 = 0 или с положительным коэффициентом при переменной х
3x - 10y + 4z + 10 = 0.
2) Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
(x - xa)/(xb - xa) = (y - ya)/(yb - ya)( z - za)/(zb - za).
Подставим в формулу координаты точек:
(x – 4)/(6 – 4) = (y – 7)/(8 – 7) = (z – 12)/(13 – 12).
В итоге получено каноническое уравнение прямой А2А3:
(x – 4)/2 =(y – 7)/1 = (z – 12)/1.
3) Длина высоты h равна расстоянию от точки Q (14; -4, -18) до плоскости А1А2А3: 3x - 10y + 4z + 10 = 0.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A2 + B2 + C2)
Подставим в формулу данные:
d = |3·14 + (-10)·(-4) + 4·(-18) + 10|/√(32 + (-10)2 + 42) = |42 + 40 - 72 + 10|/√(9 + 100 + 16) =
= 20/√125 = 0.8·√5 ≈ 1.788854.