Question

Путем преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

1) $intlimits(2-3 sqrt{x})^3dx$
2) $intlimits(x+1)^3dx$
3) $intlimits frac{dx}{2x-1}$
4) $intlimits frac{dx}{(2x-3)^3}$
5) $intlimits frac{xdx}{4+x^4}$
6) $intlimits frac{x^3dx}{x^4-2}$

Answer 1

 $1); ; int(2-3sqrt{x})^3dx=int(8-36x^{frac{1}{2}}+54x-27x^{frac{3}{2}})dx=\\=8x-36frac{x^frac{3}{2}}{frac{3}{2}}+54frac{x^2}{2}-27frac{x^{frac{5}{2}}}{frac{5}{2}}+C=8x-24sqrt{x^3}+27x^2-10,8sqrt{x^5}+C\\2)int(x+1)^3dx=int(x^3+3x^2+3x+1)dx=\\=frac{x^4}{4}+x^3+frac{3x^2}{2}+x+C\\3)int frac{dx}{2x-1}=frac{1}{2}int frac{dx}{x-frac{1}{2}}=frac{1}{2}ln|x-frac{1}{2}|+C\\4)intfrac{dx}{(2x-3)^3}=frac{1}{2}int(2x-3)^{-3}cdot 2dx=frac{1}{2}int(2x-3)^{-3}cdot d(2x-3)=$
$=frac{1}{2}cdot frac{(2x-3)^{-2}}{-2}+C=-frac{1}{4(2x-3)^2}+C\\5)intfrac{xcdot dx}{4+x^4}=intfrac{xdx}{2^2+(x^2)^2}=frac{1}{2}int frac{2xdx}{2^2+(x^2)^2}=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}arctg(x^2)+C=\\=frac{1}{4}arctg(x^2)+C\\6)int frac{x^3dx}{x^4-2}=frac{1}{4}intfrac{4x^3dx}{x^4-2}=frac{1}{4}ln|x^4-2|+C$