Question

Пусть вектор OA + вектор OB + вектор OC = 0 и OA = OB = OC. Докажите, что ABC — правильный треугольник.

Answer 1

из условия следует, что О - центр описанной окружности
(вектор OA + вектор OB + вектор OC) = 0
умножим скалярно на вектор OA
(вектор OA + вектор OB + вектор OC)*вектор OA = 0*вектор OA=0
(OA^2 + OB*OA*sin(ВОА) + OC*OA*sin(COA)) = 0
(R^2 + R^2*sin(ВОА) + R^2*sin(COA)) = 0

sin(ВОА) + sin(COA) = -1
аналогичными рассуждениями получим
sin(ВОА) + sin(COВ) = -1
sin(СОА) + sin(COВ) = -1
имеем систему
*************
sin(ВОА) + sin(COA) = -1
sin(ВОА) + sin(COВ) = -1
sin(СОА) + sin(COВ) = -1
*************
складывая любые два из уравнений и вычитая третье решим систему и получим
sin(ВОА) = sin(COA) = sin(COВ) = -1/2
угол(ВОА) = угол(COA) = угол(COВ) = 120
углы при вершинах равны половине соответствующих центральных углов
угол(С)=угол(ВСА)=угол(ВОА)/2=60
угол(В)=угол(АВС)=угол(СОА)/2=60
угол(А)=угол(САВ)=угол(СОB)/2=60
***************
треугольник у которого все углы равны 60 является равносторонним