Question

Пусть n: Ax+By+Cz+D=0 (A^2+B^2+C^2>0) и вектор n=(A,B,C). какие из следующих утверждений верны?
1. Плоскость n параллельна оси z <=> C=0
2. Плоскость n параллельна плоскости yz <=> C=D=0
3. Плоскость n параллельна плоскости xy <=> A=B=0
4. Плоскость n параллельна вектору n.

Answer 1

Пусть α: Ax+By+Cz+D=0 (A^2+B^2+C^2>0) и вектор n=(A,B,C). какие из следующих утверждений верны?

1. Плоскость α параллельна оси z <=> C=0

2. Плоскость α параллельна плоскости yz <=> C=D=0

3. Плоскость α n параллельна плоскости xy <=> A=B=0

4. Плоскость α параллельна вектору n.

Частные случаи расположения плоскости в пространстве

Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве:

Ax + By + Cz + D = 0.

1).  Если  C = 0, то уравнение будет иметь вид

Ax + By + D = 0, тогда вектор нормали к плоскости  будет перпендикулярен оси  Oz, значит данная плоскость параллельна оси Oz.

2) Если  C = D = 0, то уравнение плоскости примет вид Ax + By = 0, то есть плоскость проходит через начало координат и параллельна оси Oz, значит плоскость проходит через ось Oz.

3) Если  A = B = 0, то плоскость параллельна плоскости xOy .

Значит, первое и третье выражения верны.

4) Четвёртое выражение «Плоскость α параллельна вектору n» неверно, так как вектор n перпендикулярен плоскости α.