Question

Пусть f(x)=ax+b где а,b - целые числа. Найдите а и b если f(f(...f(x)))=243x+605

В левой части равенства функция f(x) применяется некоторое конечное число раз, большее одного

Answer 1

$f(x)=ax+b\ f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b\ f(f(f(x)))=a(a^2x+ab+b)+b=a^3x+a^2b+ab+b\ ........................................................$

 

т.о. коэффициент перед х представляет собой выражение $a^n$

число 243 можно представить как степень с натуральным показателем двумя способами как 243 в первой степени и как $3^5$ .

По условию n>1, тогда а=3, n=5. При n=5 свободный член равен $b(3^4+3^3+3^2+3+1)=605$

Применим формулу суммы первых n членов геометрической прогресси и получим

$bfrac{3^5-1}{3-1}=605\ 121b=605\ b=5.$

Ответ: а=3, b=5.