Question

Пусть альфа и бета решение уравнения x^2-x+4=0
Тогда бета/альфа+альфа/бета=?

Answer 1

По теореме Виета:
$\displaystyle \alpha + \beta=-b;$
$\displaystyle \alpha\beta=c.$

Разделим первую строчку на вторую:
$\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};$
$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha\beta}+\frac{\beta}{\alpha\beta}=-\frac{b}{c};$
$\displaystyle \frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}=-\frac{b}{c};$

Последнее равенство умножим на $\displaystyle \beta$ и отнимем единицу:
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=-\frac{b}{c}\beta-1;$

Отдельно то же самое равенство умножим на $\displaystyle \alpha$ и отнимем единицу:
$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\alpha-1;$

Сложим последние два равенства:
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\beta-1-\frac{b}{c}\alpha-1;$

В правой части вынесем $\displaystyle -\frac{b}{c}$ за скобки:
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(\alpha+\beta\right)-2;$

А по уже приведённой теореме Виета, $\displaystyle \alpha+\beta=-b$:
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{b}{c}\left(-b\right)-2;$
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\boxed{\frac{b^2}{c}-2}\phantom{.}.$

Обратим внимание, что приведённое равенство справедливо для любого квадратного уравнения вида $\displaystyle ax^2+bx+c=0$, где $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$ — его корни.

Наконец, подставим в полученное равенство значения $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ и $\displaystyle c$ из данного уравнения:
$\displaystyle a=1;$
$\displaystyle b=-1;$
$\displaystyle c=4;$
$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{b^2}{c}-2=\frac{\left(-1\right)^2}{4}-2=\frac{1}{4}-\frac{8}{4}=\boxed{-\frac{7}{4}}\phantom{.}.$

Обратите внимание, однако, что для нахождения величины $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$ решать исходное уравнение (находить численные значения $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$) не пришлось вовсе, что весьма интересно.