Question

Провести полное исследование функции и начертить график.
1)Область определения функции
2)точки разрыва второго рода и вертикальные асимптоты
3)четность
4)точки пересечения с осью Ox
5)точки пересечения с осью Oy
6)уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b
7)интервалы возрастания и убывания,экстремумы функции используя первую производную
8)интервалы выпуклости,вогнутости,точки перегиба используя вторую производную
9)график функции

Answer 1

1 ) Область определения. Подкоренное выражение неотрицательно. Знаменатель отличен от нуля.
     1-х>0  ⇒ x < 1
     D(y)=(-∞;1)
2) x=1 левосторонняя вертикальная асимптота
   $lim_{x to {-1-0}} frac{x}{ sqrt{1-x} }=+infty$
3) Так как область определения не симметрична относительно 0, то о четности и нечетности нечего и говорить. Не выполняется первое условие определения как четности, так и нечетности.
 Функция не является ни четной, ни нечетной
4)  и 5) х=0 у=0 - единственная точка пересечения  с осями координат
6) $k= lim_{x to infty} frac{f(x)}{x}= lim_{x to infty} frac{x}{x sqrt{1-x} }= lim_{x to infty} frac{1}{sqrt{1-x} }=0$
Наклонной асимптоты нет
7)$y`=( frac{x}{ sqrt{1-x} } )`= frac{x`cdot sqrt{1-x}-xcdot( sqrt{1-x})` }{ (sqrt{1-x}) ^{2} } =frac{sqrt{1-x}-xcdot frac{1}{2 sqrt{1-x} }cdot(1-x)` }{ 1-x } = \ =frac{sqrt{1-x}+ frac{x}{2 sqrt{1-x} }}{ 1-x } =frac{2(1-x)+ x }{2(1-x) sqrt{1-x} } =frac{2-2x+ x }{2(1-x) sqrt{1-x} } =frac{2-x }{2(1-x) sqrt{1-x} }$
х=2 - стационарная точка( точка в кторой производная равна 0) не принадлежит области определения
у`>0  при любом х из области определения. Функция строго возрастающая на всей облести определения.
$8)y``=(y`)`=( frac{2-x}{2(1-x) sqrt{1-x} })`= frac{(2-x)`cdot 2(1-x) sqrt{1-x}-(2-x)(2(1-x) sqrt{1-x})` }{4(1-x) ^{2}(1-x) } = \ = frac{-2(1-x) sqrt{1-x}-(2-x)cdot 2cdot (- sqrt{1-x} +(1-x) frac{(-1)}{2 sqrt{1-x}) } }{4(1-x) ^{3}}= \ frac{-2(1-x) (1-x)-(2-x)cdot (-2(1-x) -(1-x) }{4(1-x) ^{3} sqrt{1-x} }= \ frac{-2(1-x) (1-x)+2(2-x)(1-x) +(2-x)(1-x) }{4(1-x) ^{3} sqrt{1-x} }=frac{(1-x)(-2+2x +4-2x +2-x) }{4(1-x) ^{3} sqrt{1-x} }=$
$=frac{(1-x)(4-x) }{4(1-x) ^{3} sqrt{1-x}}=frac{(4-x) }{4(1-x) ^{2} sqrt{1-x}}$
х=4 - точка возможного перегиба не принадлежит области определения.
у``>0  при любом х из области определения. Функция выпукла вниз.
График см. приложение