Question

Проверить интеграл на сходимость и если он сходится, то вычислить его

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+ \infty}_{1} {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx = 1}}$

Примечание:

Интегрирование по частям:

$\boxed{ \boldsymbol{ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du } }$

Правило Лопиталя:

Если $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty$ и функции $f(x),g(x)$ таковы, что дифференцируемы в окрестности точки $a$ и в окрестности этой точки $g'(x) \neq 0$ и существует предел  $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}$, то существует $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}$.

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}} }$, при условии, что функции $f(x),g(x)$ соответствуют всем выше перечисленным условиям и соответствующие пределы существуют.

Объяснение:

$\displaystyle \int\limits^{+ \infty}_{1} {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx$- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл $\displaystyle \int {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx$ :

$\displaystyle \int {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx =$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

$u = \ln x \Longrightarrow du = d(\ln x) \ dx = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle dv = \frac{1}{x^{2} } \, dx \Longrightarrow v = \int \frac{1}{x^{2} } \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} =-x^{-1} = -\frac{1}{x}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = - \frac{ \ln x}{x} - \int - { \frac{dx}{x^{2}} } = \int { \frac{dx}{x^{2}} } - \frac{ \ln x}{x} = -\frac{1}{x} - \frac{ \ln x}{x} + C = -\frac{1 + \ln x}{x} + C$

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой.

$\displaystyle \int\limits^{+ \infty}_{1} {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx = -\frac{1}{x} - \frac{ \ln x}{x} + C = -\frac{1 + \ln x}{x} \bigg|^{+ \infty}_{1} =$

$\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \bigg(-\frac{1 + \ln x}{x} \bigg) - \bigg( -\frac{1 + \ln 1}{1} \bigg)= -\lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{1 + \ln x}{x} \bigg) + \bigg( \frac{1 + 0}{1} \bigg)=$

$\displaystyle = 1 -\lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{1 + \ln x}{x} \bigg) = 1 - \bigg[ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = 1 -\lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{ (1 + \ln x)'}{x'} \bigg) = 1 -\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} =$

$= 1 - 0 =1$.