Question

Произведение положительных чисел a, b, c, d равно 64. Найдите наименьшее значение выражения (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8).

Answer 1

Ответ:

при а=1, b=2, c=4, d=8

(a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8) = 17408

Это наименьшее значение при заданных условиях

Пошаговое объяснение:

Раскладываем 64 на простые множители

64 = 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 1

Берем множители

1, 2, 4, 8 возможны всего 24 варианта а b c d

1248, 1284, 1428, 1482, 1824, 1842, 2148, 2184, 2418, 2481, 2814, 2841, 4128, 4182, 4218, 4281, 4812, 4821, 8124, 8142, 8214, 8241, 8412, 8421

Из выражения видно, что наименьшее значение будет при а=1, b=2, c=4, d=8

Вычисляем (a+1)(2a+b)(2b+c)(2c+d)(d+8)

при соответствующих значениях а b c d

(1+1)(2 х 1 +2)(2 х 2+4)(2 х 4 + 8)(8+8) = 17408

Остальные результаты решения выражения больше:

1284 ⇒ 28800

1428 ⇒ 24960

1482 ⇒ 48000

1824 ⇒ 56160

1842 ⇒ 68000

2148 ⇒ 24480

2184 ⇒ 45000

2418 ⇒ 38016

2481 ⇒ 86400

2814 ⇒ 80784

2841 ⇒ 110160

4128 ⇒ 37440

4182 ⇒ 112500

4218 ⇒ 44000

4281 ⇒ 135000

4812 ⇒ 149600

4821 ⇒ 168480

8124 ⇒ 95472

8142 ⇒ 156060

8214 ⇒ 106920

8241 ⇒ 198288

8412 ⇒ 178200

8421 ⇒ 210600

Answer 2

Ответ 16384

sqrt - квадратный корень

1)среднее арифметическое >= среднему геометрическому

(a+b)/2 - sqrt(ab) = (a - 2sqrt(ab) + b)/2 = (sqrt(a) - sqrt(b))²/2 >=0 (квадрат не меньше 0)

2)если (a+b)/2 >= sqrt(ab) , то (a + b)/sqrt(ab) >= 2

тогда

(a+1)/sqrt(a) >= 2

(2a + b) /sqrt(2a * b) >= 2

(2b + c) /sqrt(2b * c) >= 2

(2c + d) /sqrt(2c * d) >= 2

(d + 8) /sqrt(d *8) >= 2

3)перемножим

((a + 1)(2a + b)(2b + c)(2c + d)(d + 8))/sqrt(64(abcd)²)>=32

(a + 1)(2a + b)(2b + c)(2c + d)(d + 8)/(8abcd)>=32

(a + 1)(2a + b)(2b + c)(2c + d)(d + 8) >= 16384

наименьшее 16384