Question

Приведите пример непостоянной функции f(x), определенной для всех действительных x и имеющей свойства

$f(x+1) = f(x)\ f(x+sqrt{2}) = f(x)$

Answer 1

Поделим множество всех действительных чисел на два подмножества. Первое состоит из чисел вида $n+msqrt{2},$ где n и m - целые. Второе состоит из всех остальных. Ясно, что оба подмножества непусты, так как первое счетно, а множество действительных чисел несчетно, а если из несчетного множества убрать счетное подмножество, то останется множество той же мощности. Пусть функция во всех точках первого множества принимает какое-то одно значение, скажем 1, а во всех точках второго множества - другое значение, скажем 0. Добавление к числам первого множества любого количества единиц и любого количества корней из 2 не выводит из него. То же справедливо для чисел второго множества, так как если в результате добавления к x числа вида $a+bsqrt{2}, a, bin Z$ получится число вида $c+dsqrt{2},$, то x равен разности этих чисел, то есть само есть комбинация 1 и корня из 2 с целыми коэффициентами. Поэтому построенная функция удовлетворяет требуемому условию. 

Answer 2

Я так полагаю, эта функция всюду разрывна?

Answer 3

Конечно. Эта функция - вроде функции Дирихле, которая в рациональных точках равна 1, а в ирррациональных равна 0