Question

Приведён многочлен:
 
${x}^{3} - x$

Докажите, что он кратен 6, при любых целых значениях x

Answer 1

Разложим на множители:

${x}^{3} - x = x(x - 1)(x + 1)$

Если записать в виде

$(x - 1)x(x + 1)$

то мы видим произведение трех последовательных чисел:

(х-1); х и (х+1)

В этой последовательности хотя бы одно четное число (т.е. делится на 2) и хотя бы одно число кратно трём.

Так как произведение делится на 2 и на 3, то оно делится на 6 (2×3=6), следовательно и многочлен делится на 6.

чтд