Question

Применяя указанные подстановки, вычислить следующие интегралы:

Answer 1

Ответ:  $frac{pi}{2sqrt{a^2+1}}$

Объяснение:

Решим неопределенный интеграл:

$int {frac{dx}{1+a^2sin^2x} }\\tgx=t\x=arctg , t\dx=frac{dt}{1+t^2}\sin^2x=frac{1}{1+ctg^2x}= frac{1}{1+frac{1}{tg^2x}}=frac{1}{frac{tg^2x+1}{tg^2x}}=frac{tg^2x}{tg^2x+1} =frac{t^2}{t^2+1} \\int {frac{dx}{1+a^2sin^2x} }=int {frac{frac{dt}{1+t^2}}{1+a^2frac{t^2}{t^2+1}} }=int {frac{frac{dt}{1+t^2}}{frac{t^2+1+a^2t^2}{t^2+1}} }=int {frac{dt}{t^2+1+a^2t^2} }=$

$(a^2+1=k)\\int {frac{dt}{t^2(a^2+1)+1} }=int {frac{dt}{kt^2+1} }=frac{1}{k} int {frac{dt}{t^2+frac{1}{k} }=frac{1}{k} int {frac{dt}{t^2+(sqrt{ frac{1}{k}})^2 }\\=frac{1}{k}frac{1}{sqrt{ frac{1}{k}}}artcg(frac{t}{sqrt{ frac{1}{k}}} )=$

$frac{1}{sqrt{k}}arctg(sqrt{k} , t)=frac{1}{sqrt{a^2+1}}arctg(sqrt{a^2+1} , tgx)$

Теперь решим неопределенный интеграл. Подставляя $frac{pi}{2}$ под тангенс, получим бесконечность. Значит мы имеем дело с несобственным интегралом 2 рода. Определим его сходимость:

$frac{1}{k} intlimits^{frac{pi}{2} }_0 {frac{d(tgx)}{(tgx)^2+(sqrt{ frac{1}{k}})^2 }= lim_{epsilon to {0}} {frac{1}{k} intlimits^{frac{pi}{2}-epsilon}_0 {frac{d(tgx)}{(tgx)^2+(sqrt{ frac{1}{k}})^2 }}=lim_{epsilon to {0}} {frac{1}{k}frac{1}{sqrt{k}}arctg(sqrt{k} , (tgx))}bigg|limits^{frac{pi}{2}-epsilon}_0=$

$=frac{1}{sqrt{k}}lim_{epsilon to {0}}{arctg(sqrt{k} , tgx)}bigg|limits^{frac{pi}{2}-epsilon}_0}=frac{1}{sqrt{k}}lim_{epsilon to {0}}(arctg(sqrt{k} , tg{(frac{pi}{2}-epsilon})})}-arctg(sqrt{k} , tg , 0)})=$

$arctg , tg(0)=0 , , , , , , , , , , , , , tg(frac{pi}{2}-epsilon ) rightarrow infty , , , , , , , , , , , , , artcg(infty) rightarrow frac{pi}{2}$

$=frac{1}{sqrt{k}}lim_{epsilon to {0}}{frac{pi}{2} }=frac{1}{sqrt{k}} , frac{pi}{2}=frac{pi}{2sqrt{a^2+1}}$

Интеграл сходится.