Question

При якому найменшому значенні a рівняння
$\sqrt{x - 2 + 2 \sqrt{x - 3} } + (14 - 2a) \times \sqrt[4]{x - 3} + 32 = 6a$
має хоча б один корінь?​

Answer 1

Ответ:

a = 5.5

Объяснение:

$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)*\sqrt[4]{x-3}+ 32=6a$

Сделаем замену: $\sqrt[4]{x-3}=t\geq 0$

$\sqrt{t^4+1+2t^2}+(14-2a)*t+32=6a\\\sqrt{(t^2+1)^2}+(14-2a)t+32-6a=0\\|t^2+1|+(14-2a)t+32-6a=0\\t^2+(14-2a)t+(33-6a)=0\\D=(14-2a)^2-4(33-6a)=196-56a+4a^2-132+24a=4a^2-32a+64=4(a-4)^2$

Из дискриминанта становится очевидно, что уравнение относительно t имеет как мининмум одно решение при любых значениях a.

Однако нам удовлетворяют только положительные значения t, поэтому мы рассмотрим два случая:
1) D = 0, где t >= 0

2) D > 0, где t₁ >= 0, t₂ < 0

$1)\ D=0\\4(a-4)^2=0\\a=4\\t=\frac{-(14-2*4)}{2}=\frac{-14+8}{2}=-3 < 0\\ no \ solution\\ \\ 2) D > 0\\t_1=\frac{-(14-2a)+2(a-4)}{2} =\frac{-14+2a+2a-8}{2}=2a-11\\ t_2=\frac{-(14-2a)-2(a-4)}{2} =\frac{-14+2a-2a+8}{2} =-3$

Мы видим, что при D = 0 уравнение имеет единственный корень t = -3, но он не удовлетворяет изначальному уравнению, поэтому этот случай отбрасываем.

При D > 0 уравнение всегда имеет 2 корня, при чем один из корней при любых значениях a равен -3. А значит, чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, нам нужно, чтобы первый корень t₁ = 2a - 11 был больше или равен 0. Так как по условию нам нужно найти минимальное значение a, то будем считать, что t₁ = 0:

2a - 11 = 0

a = 5.5