Question

При яких значеннях параметра a один з коренів рівняння
x^2-2(a+3)x+a^2-3a+2=0 у два рази більший за другий?

Answer 1

Ответ:

$\boxed{a_{1} = \dfrac{75 + 3\sqrt{649} }{2} \\; a_{2} = \dfrac{75 - 3\sqrt{649} }{2} }$

Объяснение:

При яких $a$    $\dfrac{x_{1}}{x_{2}} = 2$ ?

$x^{2} - 2(a + 3)x + a^{2} - 3a + 2 = 0$

$D = 4(a + 3)^{2} - 4(a^{2} - 3a + 2) = 4((a + 3)^{2} - (a^{2} - 3a + 2)) =$

$= 4(a^{2} + 6a + 9 - a^{2} + 3a - 2) = 4(9a + 7)$

$D > 0$

$4(9a + 7) > 0|:4$

$9a + 7 > 0$

$9a > -7|:9$

$\boxed{ a > -\dfrac{7}{9} = - 0,(7)\approx -0,8}$

$x_{1} = \dfrac{2(a + 3) + \sqrt{4(9a + 7)} }{2} = \dfrac{2(a + 3 + \sqrt{9a + 7} )}{2} = a + 3 + \sqrt{9a + 7}$

$x_{2} = \dfrac{2(a + 3) - \sqrt{4(9a + 7)} }{2} = \dfrac{2(a + 3 - \sqrt{9a + 7} )}{2} = a + 3 - \sqrt{9a + 7}$

$\dfrac{a + 3 + \sqrt{9a + 7}}{a + 3 - \sqrt{9a + 7}} = \dfrac{2}{1}$

ОДЗ:

$a + 3 - \sqrt{9a + 7} \neq 0$

$a + 3 \neq \sqrt{9a + 7}$

$(a + 3)^{2} \neq (\sqrt{9a + 7})^{2}$

$a^{2} + 6a + 9 \neq 9a + 7$

$a^{2} - 3a + 2 \neq 0$

$D = 9 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 = 1^{2}$

$a_{1} \neq \dfrac{3 + 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

$a_{2} \neq \dfrac{3 - 1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$

$\dfrac{(a + 3 + \sqrt{9a + 7})}{(a + 3 - \sqrt{9a + 7})} = \dfrac{2}{1} | * (a + 3 - \sqrt{9a + 7})$

$a + 3 + \sqrt{9a + 7} = 2(a + 3 - \sqrt{9a + 7})$

$a + 3 + \sqrt{9a + 7} = 2a + 6 - 2\sqrt{9a + 7}$

$3\sqrt{9a + 7} = a + 3 ; a \geq -3$

$(3\sqrt{9a + 7})^{2} = (a + 3)^{2}$

$9(9a + 7) = a^{2} + 6a + 9$

$81a + 63 = a^{2} + 6a + 9$

$a^{2} - 75a - 54 = 0$

$D = 5625 - 4 * 1 * (-54) = 5625 + 216 = 5841$

$a_{1} = \dfrac{75 + \sqrt{5841} }{2} \approx 75,71$

$a_{2} = \dfrac{75 - \sqrt{5841} }{2} \approx -0,71$