Question

При каком значении b прямая y=3x+b является касательной к графику функции y=квадратный корень x-?

Answer 1

Ответ: 1/12

Объяснение:

Пусть (x₀, y₀) -- точка касания прямой y = 3x + b к графику функции y = √x

Тогда y'(x₀) = k (угловой коэффициент касательной)

При этом мы знаем, что k = 3 (так как y = kx + b = 3x + b)

Найдём производную функции:

$y(x)=sqrt{x}\ \ y'(x)=frac{1}{2sqrt{x}}$

Теперь подставим точку x = x₀:

$y'(x_0)=frac{1}{2sqrt{x_0}}$

Так как y'(x₀) = k = 3, то:

$frac{1}{2sqrt{x_0}}=3\ \ 1=6sqrt{x_0} \ \ sqrt{x_0}=frac{1}{6} \ \ x_0=frac{1}{36}$

Отметим, что точка (x₀, y₀) принадлежит графику функции y = √x, и прямой y = 3x + b, если подставить координаты точки (x₀, y₀) в эти функции, то получатся верные равенства.

Найдём значение функции в точке x₀:

$y_0=y(x_0)=sqrt{x_0}=sqrt{frac{1}{36}}=frac{1}{6}$

Подставим найденную точку в уравнение прямой и найдём b:

$(x_0,y_0)=(frac{1}{36} ,frac{1}{6})\ \ y=3x+b\\ frac{1}{6}=frac{3}{36}+b quad|cdot 12\ \ 2=1+12b\ \ b=frac{1}{12}$