Question

при каких значениях параметра а уравнение имеет один корень 16^x-(a+1)*4^x+a=0

Answer 1

$displaystyle 16^x-(a+1)cdot4^x+a=0\\4^{2x}-4^x(a+1)+a=0\\4^x=t,quad t>0\\t^2-t(a+1)+a=0\\D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2$

Рассмотрим два случая

1) Дискриминант равен 0

2) Дискриминант больше 0

Рассматривать случай при дискриминанте меньше 0 смысла нет, так как никаких действительных корней в этом случае не будет.

$displaystyle 1)quad text{D}=0quadrightarrowquad(a-1)^2=0quad rightarrow quad boxed{a=1}\\t=frac{a+1}{2}=frac{1+1}2=1quad (t>0)\\2)quad text{D}>0quadrightarrowquad(a-1)^2>0quad rightarrowquad ain(-infty;1)cup(1;+infty)\\t=frac{-bpmsqrt{D}}{2a}\\t_1=frac{a+1-(a-1)}{2}=frac{2}2=1\\t_2=frac{a+1+a-1}{2}=frac{2a}2=a$

Первый корень всегда: $t=1$

Второй корень может принимать как положительные, так и отрицательные значения: $t=a,quad ain(-infty;1)cup(1;+infty)$

При этом, вспомним про условие: $t>0$

Показательная функция принимает строго положительные значения. Значит, если а будет меньше или равно 0, то второго корня у исходного уравнения не будет.

$displaystyle left { {{ain(-infty;1)cup(1;+infty)} atop {aleq0}} right. quadrightarrowquad boxed{ain(-infty;0]}$

Ответ: $ain(-infty;0]cup{1}$