Question

При каких значениях параметра (а) уравнение имеет два корня:
х^4 + ах^2 + а - 1 = 0

Answer 1

Квадратное уравнение имеет два корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен, и один корень тогда и только тогда, когда он равен нулю.
$x^4 + ax^2 + a - 1 = 0 Leftrightarrow [x^2 = t] \ Leftrightarrow t^2+at+a-1 = 0.$
Воспользуемся этим знанием. У нашего уравнения два корня тогда и только тогда, когда у нового (после замены) ровно один положительный корень, а второй либо отрицательный, либо совпадает с первым. Давайте теперь это запишем.
Коэффициенты квадратного уравнения:
$A = 1, B = a, C = a-1. \ D = B^2-4AC = a^2 - 4(a-1) = a^2 -4a + 4 = (a+2)^2.$
Сразу видим, что он неотрицателен, но нам потребуется ещё и явно выписать корни.
$t_{1,2} = frac{-B pmsqrt{D}}{2A} = frac{-a pm|a+2|}{2},$
Так как стоит плюс-минус, то модуль можно просто убрать, неважно, как он раскрывается
$t_{1,2} = frac{-a pm (a+2)}{2} = 1, a-1.$
Здесь мы видим, что всегда есть один положительный корень, и нам нужно требовать, чтобы второй был отрицателен: 
$a-1 textless 0 Rightarrow a textless 1.$
При таких а наше уравнение будет иметь ровно два корня, и мы их даже нашли, что было необязательно.

Ответ: $a textless 1$