Question

При каких значениях параметра а уравнение |х-а-5| - |х+а+1| = 2а + 6 имеет 1 решение на отрезке [3;4] ?

Answer 1

|x-a-5|-|x+a+1|=2a+6 
 Нули
 x=a+5 
 x=-a-1 
 
1)
Если a<-3 то  a+5<-a-1   
 -------(a+5)------(-a-1)-------> 
  
2)
Если a>-3 то a+5>-a-1  
 -------(-a-1)------(a+5)--------> 
f(x)=|x-a-5| и g(x)=|x+a+1|   

1.
Если a<-3  
При a+5<=x<=-a-1 то  f(x)>0 и g(x)<0 или F(x)=2x-4
При x<a+5 то f(x)<0 и g(x)<0 или F(x)=2a+6 
При x>-a-1 то f(x)>0 и g(x)>0 или F(x)=-(2a+6) 
  
Так как требуется найти решение на отрезке [3;4] то при a<-3 получаем 2a+6<0 , значит это возможно когда точка a+5 (так как она a+5<-a-1 при a<-3) равна 3, так как при если a+5=4 то решений будет больше одного,  откуда a+5=3 или a=-2 (не подходит) так как -2>-3  

2. 
Если a>-3 
Аналогично и для случая a>-3, получаем что единственное решение возможно, так как 2a+6>0 , a>-3 то -a-1=3 откуда  a=-4, но -4<-3  
  
Значит таких "a" нет.