Question

При каких значениях  a, ba,b и cc многочлен  F = 50a^2 + 61c^2 + 9b^2 −30bc + 84ac + 142a + 12b −20c + 5045F=50a 2 +61c 2 +9b 2 −30bc+84ac+142a+12b−20c+5045 принимает наименьшее значение? В ответе укажите сумму  a + b + c; a,b,c\ - a+b+c;a,b,c − действительные числа.​

Answer 1

Преобразовав

$50a^2 + 61c^2 + 9b^2 -30bc + 84ac + 142a + 12b -20c + 5045 =$ $\dfrac{(50a+42c+71)^2 + 50(3b-5c+2)^2+(6c-497)^2)}{50}$ $\geq 0$

так как квадраты неотрицательны

отсюда минимальное значение это F=0

достигает при  

50a+42c+71=0

3b-5c+2=0

6c-497=0  

 

решив систему

c=497/6

b=2473/18

a=-71  

a+b+c = 497/6 + 2473/18 - 71 = 1343/9