Question

При каких действительных значениях α число z=(cosπα - isinπα)^8 является: 1) действительным; 2) чисто мнимым?

Answer 1

$z=(cospi a - isinpi a)^8=(cos(-pi a) + isin(-pi a))^8=(e^{-ipi a})^8=e^{-8ipi a}=(cos(-8pi a) + isin(-8pi a))\ 1) sin(-8pi a)=0=>-8pi a = pi n=>a=-dfrac{n}{8},nin Z\ 2)cos(-8pi a)=0=>-8pi a=dfrac{pi}{2}+pi n=>a=-dfrac{1}{16}-dfrac{ n}{8},nin Z$