Question

Пределы найти:
1) lim x -> 0
$frac{1 - sin( alpha ) - cos( alpha ) }{ sin( sqrt{2} alpha ) }$
2) lim x-> 0
$frac{ ln(1 + x) }{ {x}^{2} }$
3) lim x-> 0
$frac{tg : x}{2x}$

Answer 1

Решение во вложении

Answer 2

Метод замены бесконечно малых величин эквивалентными бесконечно малыми.

( Если  $alpha to 0$ ,  то $alpha -$  бесконечно малая. )

$1); ; limlimits _{x to 0}frac{1-sinx-cosx}{sin(sqrt2x)}=limlimits _{x to 0}frac{1-cosx}{sin(sqrt2x)}-limlimits _{x to 0}frac{sinx}{sin(sqrt2x)}=\\=Big [, (1-cosalpha )sim frac{alpha ^2}{2}; ,; ; sinalpha sim alpha ; ,; ; alpha to 0; Big ]=\\=limlimits _{x to 0}frac{frac{x^2}{2}}{sqrt2x}-limlimits _{x to 0}frac{x}{sqrt2x}=limlimits_{x to 0}frac{x}{2sqrt2}-limlimits _{x to 0}frac{1}{sqrt2}=frac{0}{2sqrt2}-frac{1}{sqrt2}=-frac{1}{sqrt2}$

$2); ; limlimits _{x to 0}frac{ln(1+x)}{x^2}=Big [; ln(1+alpha )sim alpha ; ,esli; ; alpha to 0; Big ]=limlimits _{x to 0}frac{x}{x^2}=\\=limlimits _{x to 0}frac{1}{x}=Big [;  frac{1}{0}; Big ]=infty \\3); ; limlimits _{x to 0}frac{tgx}{2x}=Big [; tgalpha sim alpha ; ,; esli; alpha to 0; Big ]=limlimits _{x to 0}frac{x}{2x}=frac{1}{2}$