Question

Пожалуйста, помогите!!! решить пределы применив правило Лопиталя 4 и 7 номера)

Answer 1

Пусть

$y=(1+x)^{ctg2x}$

Логарифмируем

$lny=ctg2xcdot ln(1+x)$

Находим

$lim_{x to 0} lny= lim_{x to 0}ctg2xcdot ln(1+x)=(infty cdot 0)= lim_{x to 0}frac{ctg2x}{frac{1}{ln(1+x)} }=frac{infty}{infty}$

Применяем правило Лопиталя:

$lim_{x to 0}frac{(ctg2x)`}{(frac{1}{ln(1+x)} )`}=lim_{x to 0}frac{-frac{2}{sin^22x} }{(-frac{1}{ln^2(1+x)}cdot(frac{1}{1+x}  )}=lim_{x to 0}frac{-2cdot (1+x)cdot ln^2(1+x)}{sin^2x} =-2$

sinx~x при х →0;

ln(1+x)~x  при х →0

Значит,

$lim_{x to 0}y=e^{-2}$

Пусть

$y=(x+3^{x})^{frac{1}{x}}$

Логарифмируем

$lny=frac{1}{x}cdot ln(x+3^{x})$

Находим

$lim_{x to infty} lny=lim_{x to infty} frac{1}{x}cdot ln(x+3^{x})=lim_{x to infty} frac{ ln(x+3^{x})}{x}=frac{ infty}{ infty}$

Применяем правило Лопиталя

$lim_{x to infty} frac{ (ln(x+3^{x}))`}{(x)`}= lim_{x to infty} frac{ frac{1+3^{x}ln3}{x+3^{x}}}{1}=lim_{x to infty}frac{1+3^{x}ln3}{x+3^{x}} =ln3$

Answer 2

https://znanija.com/task/32005504 , помогите пожалуйста 25 б с алгеброй