Пожалуйста, помогите! Буду очень благодарна и признательна! задача нужна прямо сегодня(( вроде и не такая сложная, но не получается ответ...Образующая конуса составляет с его осью угол альфа. Определить отношение объема этого конуса к объему описанного около него шара. Возможно с рисунком...Спасибо!!!
Ответы на вопрос
Vк = 1/3 * Пr^2H
Vш = 4/3 * Пr^3
Vк/Vш = r^2H/4R^3
R^2 = (H-R)^2 + r^2
sina = r/R
r= Rsina
tga = H/r
Vк/Vш = r^2H/4R^3 = (R^2sin^2a * H)/(4R^3) = (sin^2 a * H)/(4R) = sin^2 a * tga * r)/(4R) = (sin^3 a * tga)/4
Всю эту задачу можно представить себе так. У нас есть равнобедренный треугольник с углом при вершине (2*альфа) (а при основании (90 - альфа)), и окружность описанная вокруг него. Потом все это "хозяйство" вращается вокруг оси симметрии треугольника (то есть вокруг медианы-биссектрисы-высоты к основанию. Получается конус, вписанный в шар. Надо найти отношение их объемов.
Задача решается так - выбирается за единицу длины какой-то размер, например, радиус R описанной вокруг треугольника окружности (он же - радиус шара). Надо выразить через него половину основания треугольника (это радиус основания конуса) и высоту h (это высота конуса).
Легче всего находится основание - из теоремы синусов
2*R*sin(2*альфа) = a. Поэтому радиус основания конуса r = a/2 = R*sin(2*альфа);
Легко видеть, что h/r = tg(90 - альфа) = ctg(альфа);
h = R*sin(2*альфа)*ctg(альфа) = 2*R*(cos(альфа))^2 = R*(1 + cos(2*альфа));
Объем шара 4*pi*R^3/3;
Объем конуса pi*r^2*h/3 = pi*R^3*(sin(2*альфа))^2*(1 + cos(2*альфа))/3; делим это на объем шара.
Ответ (sin(2*альфа))^2*(1 + cos(2*альфа))/4
В принципе можно "повертеть" тригонометрию, но большого смысла в этом нет.