Question

ПОЖАЛУЙСТА!! ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ!!!!

Довести нерівність $\frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}\geq 2\sqrt{2}$, де a>b, ab=1

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\dfrac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\\\dfrac{(a-b)^2+2ab}{a-b}\ge2\sqrt{2}$

Переход из условия:

$(a-b)+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{2}$

Замена $t=a-b$ (из условия $t > 0$):

$t+\dfrac{2}{t}\ge2\sqrt{2}$

Очевидно, что это неравенство верно для любых $t$ из условия.

(можно в лоб его решить и получить $t > 0$)

Доказано!