Математика, вопрос задал whoami88 , 2 года назад

Пожалуйста,объясните как находиться ОБЛАСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ y=sin(x)+cos(x). Не понимаю как преобразовать и что делать...

Ответы на вопрос

Ответил SmEgDm

$sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}cosx)=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx)=\\=\sqrt{2}(sinxsin\frac{\pi}{4}+cosxcos\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})$

Если E(f) = [a; b], то E(g) = [ka; kb], где g(x)=k·f(x).

$f(x) := sin(x+\frac{\pi}{4}),$

E(f) = [-1; 1].

$g(x) := \sqrt{2}f(x)= \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}),$

E(g) = [-√2; √2].

Ответ: E(y) = [-√2; √2]

whoami88: E(g) -это область изменения,верно?

SmEgDm: да. ее еще называют областью значений функции.

whoami88: То есть мы должны прийти к тому,чтобы перед f(x) стоял какой либо коэффициент?

SmEgDm: ну в данном случае да, так как мы знаем E(sin)

whoami88: А с чего начать данные преобразования??? Смотреть к какой формуле можно свести функцию? Например двойного угла и тд

SmEgDm: Ну, например, если есть f(x)=sinx*cosx, понятно, что работать с ней в таком виде не очень хочется, и тут в голову приходит формула синуса двойного угла (sin(2x)=2*sinx*cosx). Сразу мы, конечно же, не можем "свернуть" по этой формуле, однако если "искусственно" умножить на 2, а затем разделить на нее же, то получим следующую картину: sinx*cosx=2*sinx*cosx*1/2=1/2*sin(2x). Ну а теперь понятно, что E(f) = [-1*1/2; 1*1/2]=[-1/2; 1/2]. Как-то так стоит рассуждать. Вот

whoami88: Да,Спасибо)
Но ещё не совсем понятно что именно тут означают E(f), E(g),g(x)

SmEgDm: E(*). Обычно на месте * пишется именно название функции, поэтому я и вводил обозначения f(x) и g(x). Например, хочется найти область значений y = x^2. Можно записать так: E(y) = [0; +inf] или же ввести f(x) = x^2 и сказать, что E(f) = [0; +inf].

Ответил Аноним

Решение задания приложено

Приложения: