Question

Постройте график функции От руки и с таблицами значений, без программ.

$y = x {}^{2} - 6 + \frac{ |x - 3| }{x - 3} + 3$
​

Answer 1

Очевидно, что здесь график будет основан на параболе.

Сейчас посмотрим, что будет при раскрытии модуля

$\displaystyle |x-3| = \left \{ {{x-3,x>3} \atop {3-x, x<3}} \right.$

Не стал рассматривать $x=3$, потому что он в знаменателе дроби.

При положительном раскрытии дробь равна 1, при отрицательном раскрытии дробь равна -1.

Итого имеем:

$\displaystyle y=\left \{ {{x^2-6x+1+3, x>3} \atop {x^2-6x-1+3, x<3}} \right.$

То есть $\displaystyle y=\left \{ {{x^2-6x+4, x>3} \atop {x^2-6x+2, x<3}} \right.$

Чтобы было удобно строить, выделим полный квадрат и увидим, что оба куска различаются лишь расположением по оси ОУ, а так та же парабола.

$\displaystyle y=\left \{ {{x^2-6x+9-9+4=(x-3)^2-5, x>3} \atop {x^2-6x+9-9+2=(x-3)^2-7, x<3}} \right.$

То есть оба куска смещены по оси ОХ на 3 единицы вправо, а смещение по ОУ зависит от самого куска: левый кусок $(x<3)$ смещен на 7 единиц вниз, а правый $(x>3)$ - на 5 единиц вниз.

Кстати, в $x=3$ - разрыв, поэтому на графике будут две выколотые точки - слева и справа.

Сам график строится так:

Строятся полностью оба куска (довольно легко, по факту из новой точки - в 1-ом куске (3;-5), во 2-м (3;-7) строим самые простые параболы $y=x^2$, ну то есть мысленно представляем, что, например, точка (3;-5) является началом координат и от неё параболку шаблонную строим с заученной наизусть таблицей) и на каждом интервале остается только та часть, которая указана в системе.

Картинка 1 - два графика разным цветом

Картинка 2 - итоговый график, то есть после того, как ненужные части были убраны и был добавлен разрыв.