Question

Постройте график функции

Answer 1

$y=frac{1}{2}sin{(x+frac{pi}{4})}-1$

Функция будет выглядеть как sin x, только её ординаты будут уменьшены в 2 раза, затем опущены на 1, а сама функция будет сдвинута влево на π/4. Это я к тому, что функция периодическая.

Можно построить как я расписал (последовательно), а можно сразу, так просто меньше считать надо, но если вам просто нужно примерный вид графика функции, то обычно строят последовательно.

Найдём точки пересечения с осями координат:

$y(0)=frac{1}{2}sin{(frac{pi}{4})}-1=frac{sqrt{2}}{4}-1,(0;frac{sqrt{2}}{4}-1)\y=frac{1}{2}sin{(x+frac{pi}{4})}-1=0;sin{(x+frac{pi}{4})}=2;\xin varnothing t.k. |sin{x}|le 1$

Найдём абсциссы экстремумов функции:

$y'=frac{1}{2}cos{(x+frac{pi}{4})}*1=0;x+frac{pi}{4}=frac{pi}{2}+pi n,nin mathbb{Z}.\x=frac{pi}{4}+pi n,nin mathbb{Z}.\x_{min}=frac{5pi}{4}+2pi n,nin mathbb{Z}.\x_{max}=frac{pi}{4}+2pi n,nin mathbb{Z}.$

Найдём ординаты экстремумов:

$y=frac{1}{2}sin{(x+frac{pi}{4})}-1;|sin{x}|le 1Rightarrow\E(y)=begin{bmatrix}-0.5-1;0.5-1end{bmatrix}=begin{bmatrix}-1.5;-0.5end{bmatrix}\y_{min}=-1.5\y_{max}=-0.5$

Найдём абсциссы точек перегиба:

$y''=(y')'=-frac{1}{2}sin{(x+frac{pi}{4})}*1=0;x+frac{pi}{4}=pi n,nin mathbb{Z}.\x=-frac{pi}{4}+pi n,nin mathbb{Z}.$

Ордината точки перегиба будет (-1.5+(-0.5))/2= -1.

Как будет выпукла функция можно определить по тому, что это sin x. Сам график смотри внизу.

Кстати период функции 2π.