Question

Построить график функции и записать ее свойства:
y=3x^5-5x^3

Answer 1

Задана функция $f(x) = 3x^{5} - 5x^{3}$

1) Найдем область определения функции:

$D(f) = (-\infty; \ +\infty)$, то есть $x \in \mathbb{R}$

2) Исследуем функцию на четность:

$f(-x) = 3(-x)^{5} - 5(-x)^{3} = -3x^{5} + 5x^{3} = -(3x^{5} - 5x^{3}) = -f(x)$

Функция нечетная, непериодическая.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

Если $x = 0$, то $y = 0$, значит $(0; \ 0)$ — точка пересечения с осью $Oy$.

Если $y = 0$, то есть $3x^{5} - 5x^{3} = 0$, то:

$x^{3}(3x^{2} - 5) = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}x^{3} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \\3x^{2} - 5 = 0\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc}x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \\ x = \pm \dfrac{\sqrt{15}}{3} \\\end{array}\right$

Значит $(0; \ 0)$, $\left(-\dfrac{\sqrt{15}}{3}; \ 0 \right)$ и $\left(\dfrac{\sqrt{15}}{3}; \ 0 \right)$ — точки пересечения с осью $Ox$.

4) Асимптот данная функция не имеет, поскольку она непрерывная на всей области определения.

5) Найдем производную и критические (стационарные) точки функции:

$f'(x) = (3x^{5} - 5x^{3})'= 15x^{4} - 15x^{2}$

Из уравнения $15x^{4} - 15x^{2} = 0$ имеем критические точки:

$x_{1} = -1; \ x_{2} = 0; \ x_{3} = 1$

6) Найдем промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции, заполнив таблицу (см. вложение).

7) Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба с помощью второй производной:

$f''(x) = (15x^{4} - 15x^{2})' = 60x^{3} - 30x$

Если на промежутке $(a; \ b)$ дифференцируемая функция $f(x)$ имеет положительную вторую производную, то есть $f''(x) > 0$ для всех $x \in (a; \ b)$, то график этой функции на $(a; \ b)$ является выпуклым вниз; если на промежутке $(a; \ b)$ дифференцируемая функция $f(x)$ имеет отрицательную вторую производную, то есть $f''(x) < 0$ для всех $x \in (a; \ b)$, то график этой функции на $(a; \ b)$ является выпуклым вверх.

Решим уравнение: $f''(x) = 0$

$60x^{3} - 30x = 0$

$30x(2x^{2} - 1) = 0$

Имеем корни: $x_{1} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ; \ x_{2} = 0; \ x_{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице (см. вложение)

8) Изобразим график заданной функции (см. вложение).

9) Из графика можем найти область значений функции:

$E(f) = (-\infty; \ +\infty)$, то есть $y \in \mathbb{R}$