Question

Построен график функции f(x) = |-x^2-2x+8|
При каких значениях m уравнение f(x) = m имеет четыре различных корня? (График см. на фото)

Answer 1

10 - 11 классы Математика 5+3 б

При каких значениях m уравнение f(x)=m имеет четыре различных корня ,где f(x)=|x^2+2x-8|

Отметить нарушение Phakim 02.10.2017

Ответы и объяснения

ProGroomer

ProGroomerПочетный Грамотей

Для начала заметим, что m≥0 (иначе уравнение не имеет решений). Затем раскроем модуль в уравнении. Получим:

left [ {{x^2+2x-8=m} atop {x^2+2x-8=-m}} right. \ left [ {{x^2+2x+(-8-m)=0} atop {x^2+2x+(m-8)=0}} right.

Если эта совокупность имеет 4 решения, то дискриминанты каждого из этих уравнений должны быть положительны:

D_1=4+32+4m=36+4m textgreater 0 Rightarrow m textgreater -9\
D_2=4+32-4m=36-4m textgreater 0Rightarrow m textless 9

Также вспомним, что m≥0 и получим, что m∈[0;9).

Теперь проверим, при каких m из данного промежутка могут совпасть какие-то из корней этих уравнений:

x_{1,2}={-2pmsqrt{36+4m}over2}=-1pmsqrt{9+m}\x_{3,4}={-2pmsqrt{36-4m}over2}=-1pmsqrt{9-m}\
-1+sqrt{9+m}=-1+sqrt{9-m}Rightarrow m=0\
-1-sqrt{9+m}=-1-sqrt{9-m}Rightarrow m=0

Другие две пары рассматривать не имеет смысла:

sqrt{9-m}=-sqrt{9+m}Rightarrow left { {{9-m=0} atop {9+m=0}} right. Rightarrow min varnothing

Итог: m∈(0;9)

Ну это вряд ли правильно