Question

помогите вычислить интеграл
$intlimits^ frac{pi}{4} _ frac{pi}{3} [3 - 3 cot ^{2} (x) ], dx$
подробно, пожалуйста

Answer 1

$star ; ; int (3-3ctg^2x), dx =3int dx-3int ctg^2x, dx=\\=Big [, ctg^2x=frac{cos^2x}{sin^2x}=frac{1-sin^2x}{sin^2x}=frac{1}{sin^2x}-1, Big ]=\\=3x-3int (frac{1}{sin^2x}-1)dx=3x-3(-ctgx-x)+C=\\=3x+3ctgx+3x+C=6x+3ctgx+C; ; star \\\intlimits^{frac{pi}{4}}_{frac{pi}{3}} (3-3ctg^2x), dx=(6x+3ctgx)Big |_{frac{pi}{3}}^{frac{pi}{4}}=\\=6cdot frac{pi }{4}+3ctgfrac{pi }{4}-(6cdot frac{pi }{3}+3ctgfrac{pi}{3})=frac{3pi }{2}+3-2pi -3cdot frac{sqrt3}{3}=$

$=-frac{pi }{2}+3-frac{sqrt3}{3}=frac{18-3pi -2sqrt3}{6}$