Question

Помогите вычислить:
(∛6√3 - 10) - √3

Answer 1

упростим выражение ∛(6√3 - 10)=-∛(10-6√3)
для этого подкоренное выражение нужно свести к виду (a-b√3)³

$10-6 sqrt{3} =(a-b sqrt{3} )^3=a ^{3} -3a^2b sqrt{3} +3a(b sqrt{3}) ^{2} -(b sqrt{3})^3= \ =a ^{3} -3a^2b sqrt{3} +3ab^2*3 -b ^{3} *3 sqrt{3} =a ^{3} -3 a^2bsqrt{3} +9ab^2 -3 b ^{3} sqrt{3} \ \ 10-6 sqrt{3} =a ^{3} -3 a^2bsqrt{3} +9ab^2 -3 b ^{3} sqrt{3}$
Теперь приравняем выражение с радикалами к -6√3, а выражения без радикалов к -10, будем рассматривать а и b как натуральные числа:

$left { {{a ^{3}+9ab^2=10 } atop {-3 a^2bsqrt{3} -3 b ^{3} sqrt{3}=-6 sqrt{3} |:(-3 sqrt{3}) }} right. \ left { {{a ^{3}+9ab^2=10 } atop { a^2b + b ^{3} =2 }}} right.$

$a^2b + b ^{3} =2$
так как мы рассматриваем только натуральные значения а и b, то очевидно, что 0<b³<2, значит b³=1; b=1

$left { {{a ^{3}+9a*1^2=10 } atop { a^2*1 + 1 ^{3} =2 right. \ left { {{a ^{3} } +9a=10atop {a ^{2}=1 }} right. \ left { {{a ^{3} } +9a=10atop {a }=+-1 }} right. \ {a ^{3} } +9a=10 \ {1 ^{3} } +9*1=10 \ 10=10 \ {a ^{3} } +9a=10 \ {(-1 )^{3} } +9(-1)=10 \ -10 neq 10$

итак а=1 и b=1, значит 10-6√3=(1-√3)³

$sqrt[3]{6 sqrt{3}-10 } - sqrt{3} =- sqrt[3]{10-6 sqrt{3}} - sqrt{3} =- sqrt[3]{(1- sqrt{3} ) ^{3} } - sqrt{3} = \ =-(1- sqrt{3})- sqrt{3} =-1+sqrt{3}- sqrt{3}=-1 \ OTBET: -1$