Question

Помогите с решением интеграла

Answer 1

Интересный интеграл, пришлось повозиться с решением.
Шаг первый -- методом неопределённых коэффициентов разбиваем дробь на простейшие
$int { frac{1}{ sqrt{x} + sqrt[3]{x}+2 sqrt[4]{x} } } , dx = int { frac{-1}{4(1+ sqrt[12]{x} )}+ frac{-1+ sqrt[12]{x} }{8(2- sqrt[12]{x}+ sqrt[6]{x} )}+ frac{1}{2 sqrt[4]{x} } - frac{1}{4 sqrt[6]{x} } } , dx + int { frac{1}{8 sqrt[12]{x} }} , dx$
Согласно свойству интегралу от суммы -- разбиваем на сумму интегралов и сражаемся с каждым.

$int { frac{-1}{4(1+ sqrt[12]{x}) } } , dx = -3 int { frac{ u^{11} }{(u+1)} } , du[tex]-3 int { u^{10} -u^9+u^8-u^7+u^6-u^5+u^4-u^3+u^2-u- frac{1}{u+1}+1 } , du$ u =sqrt[12]{x} [/tex]

Простейшие первообразные, сразу заменяем u на x (обратно), в дальнейшем я такие тривиальные шаги буду опускать:

$= frac{3 sqrt[12]{x^{11}} }{11} + frac{3x^{5/6}}{10} - frac{x^{3/4}}{3} + frac{3x^{2/3}}{8} - frac{3x^{7/12}}{7} - frac{3x^{5/12}}{5} + frac{ sqrt{x} }{2} + frac{3 sqrt[3]{x} }{4} - sqrt[4]{x}+ +(3 sqrt[6]{x} )/2 - 3 sqrt[12]{x} + 3ln( sqrt[12]{x} +1) + const$

$int { frac{-1+ sqrt[12]{x} }{8(2- sqrt[12]{x}+ sqrt[6]{x} )} } , dx = frac{3 sqrt[12]{x^{11}} }{22} - frac{x^{3/4}}{3} - frac{3x^{2/3}}{8} + frac{3x^{7/12}}{7} + frac{3x^{5/12}}{5} + frac{3 sqrt{x} }{2}+ + (15 sqrt[3]{x} )/4 -7 sqrt[4]{x} +(9x^{1/6})/2+51 sqrt[12]{x} +(33ln( sqrt[6]{x}- sqrt[12]{x}+2 ))/2- -(171arctg[(2 sqrt[12]{x}-1 )/( sqrt[7]{x}) ])/ sqrt[7]{x} +const$
Будьте внимательны, красивыми формулами сайта писать уже затруднительно, но логика сохранена, всё записано истинно
Три последних интеграла берутся без затруднений, данный момент опущу.
Дальше арифметика, просуммировав все результаты, и набросив косметики, ответ представляет собой:
$2 sqrt{x} -3 sqrt[3]{x} -8 sqrt[4]{x} +6 sqrt[6]{x} +48 sqrt[12]{x} +3ln( sqrt[12]{x}+1 ) + (33/2) ln( sqrt[6]{x}- sqrt[12]{x}+2) - (171/ sqrt[7]{x} )arctg[(2x^{1/12}-1)/(x^{1/7})] + + const$