Question

Помогите с 4^n+15n-1 кратно 9

Answer 1

Пошаговое объяснение:

${4}^{n} + 15n - 1 \: \\ npu \: n = 1: \: \: \\ {4}^{n} + 15n - 1 = {4}^{1} + 15 {\cdot}1 - 1 = 18 \\ npu \: \: n = 2 \\ {4}^{n} + 15n - 1 = {4}^{2} + 15 {\cdot}2 - 1 = 45$

Предположим, есть такое предельное n, при котором значение выражения кратно 9 (обозначим его как 9k):

${4}^{n} + 15n - 1 = 9k;\; \: k, n \in N$

Вычислимтзначение этого выражения для следующего значения n+1:

$npu \: \: m = n + 1; \: \; m, n \in N \\ \small{4}^{m} + 15m - 1 = {4}^{n + 1} + 15(n + 1) - 1 = \\ \small = 4{\cdot}{4}^{n} + 15n + 14 = \\ \small = 4{\cdot}{4}^{n} +( 60n - 60n) + 15n + (- 4 + 4)+ 14 = \\ = \small4{ \cdot} {4}^{n} + 60n - 4 - 45n + 18 = \\ \small = 4 \cdot({4}^{n} + 15n - 1) + (18 - 45n) = \\ \small = 4 \cdot({4}^{n} + 15n - 1) + 9(2 - 5n) = \\ = 4 \cdot9k + 9(2 - 5n) = \\ = 9(4k + 2 - 5n)$

Мы разбили выражение на 2 множителя, один из которых равен 9, а второй состоит из натуральных слагаемых, а значит не является дробью.

А следовательно, полученное выражение должно быть кратно 9.

Ч. т. д.