Question

Помогите с 13 заданием, 5 пример

Answer 1

$intlimits^1_0frac{x, dx}{1+x^4}=intlimits^1_0frac{x, dx}{1+(x^2)^2}=[, t=x^2; ,; dt=2x, dx; ,; xdx=frac{dt}{2}; ,; t_1=0,t_2=1, ]=\\=frac{1}{2}intlimits^1_0frac{dt}{1+t^2}=frac{1}{2}cdot arctgtBig |_0^1=frac{1}{2}cdot (arctg1-arctg0)=frac{1}{2}cdot frac{pi}{4}=frac{pi}{8}$

Answer 2

вначале найдем определенный интеграл
$int{ frac{xdx}{1 + {x}^{4} } } = int{ frac{ frac{1}{2} d {x}^{2} }{1 + ({x}^{2}) ^{2} } } = \ = frac{1}{2} int{ frac{d y}{1 + y ^{2} } } = frac{1}{2} arctg(y) + c = \ = frac{1}{2} arctg( {x}^{2} ) + c$

поэтому

$binom{1}{0} int{ frac{xdx}{1 + {x}^{4} } } =frac{1}{2} arctg( {x}^{2} ) binom{1}{0} = \ =frac{1}{2} arctg( {1}^{2} ) - frac{1}{2} arctg( {0}^{2} ) = \ = frac{1}{2} cdot frac{pi}{4} - 0 = frac{pi}{8}$